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Le diplôme de master en mathématiques, spécialité Mathématiques et Mathématiques appliquées,  correspond à 4 semestres d’études après la licence.

La première année permet l’obtention du diplôme de maîtrise et d’acquérir les bases nécessaires à la préparation du concours de l’agrégation de mathématiques.

La deuxième année, cohabilitée avec l’Université Joseph Fourier de Grenoble, offre une formation mathématique de haut niveau permettant d’accéder au Doctorat et aux métiers de la recherche. Les spécialités de la deuxième année sont :  Mathématiques Fondamentales et Mathématiques Appliquées.

Première année du Master (site du Bourget du Lac)

Des cours obligatoires sont associés à un certain nombre de cours aux choix, en fonction de l’orientation de l’étudiant. 

Semestre 1
Analyse fonctionnelle 1 (obligatoire) Rappels et compléments de topologie, espaces de Hilbert. Espaces vectoriels normés. Etude d’exemples. Opérateurs linéaires continus. Théorèmes de l’application ouverte, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus. Formes linéaires continues et dualité. Théorème de Hahn-Banach et applications.

Optimisation et systèmes différentiels (obligatoire) Rappels sur la minimisation de fonctionnelles : minimisation sous contraintes d’égalités, sous contraintes d’égalités et d’inégalités. Condition de KKT, conditions du second ordre. Equations d’Euler-Lagrange : modèle de consommation-épargne, conditions nécessaires d’Erdman-Weierstrass, optimisation avec héritage.

Systèmes dynamiques et contrôle (obligatoire) Système associé à un système autonome d’équations différentielles. Classification des champs linéaires plans. Théorème d’Hartman-Grobman, stabilité des systèmes, fonction de Lyapounov. Contrôle des systèmes linéaires : commande d’un système, théorème de Kalman, principe du maximum.

Géométrie et Topologie 1 (obligatoire) Surfaces : représentations. Espace tangent. Propriétés métriques, courbure, directions principales. Mesure de surface, intégration. Formule de Green. Champ gradient, champs de vecteurs.

Analyse numérique (obligatoire) Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires. Méthodes de gradient, de gradient conjugué. Méthodes de calcul des valeurs propres et vecteurs propres de matrices : Méthodes de Jacobi, de bissection, de la puissance.

Algèbre et géométrie I (obligatoire) Compléments sur les structures algébriques. Groupes, anneaux, corps. Groupes commutatifs. Applications dans le cadre de la géométrie. Ensembles algébriques. Application dans le cadre de la géométrie. Ensembles algébriques.

Intégration et Probabilités Espaces mesurés ; fonctions mesurables ; espaces Lp ; mesures produits ; changements de variables ; espaces probabilisés ; variables aléatoires ; indépendance ; transformation des lois ; convergence des suites de variables aléatoires et des suites de lois.

Mécanique Analytique
- Formalisme lagrangien. Equations d’Euler-Lagrange. Particule dans un potentiel indépendant de la vitesse. Particule dans un champ électromagnétique externe. - Formalisme hamiltonien. Equations d’Hamilton, espace des phases, exemples. Crochets de Poisson. Quantités conservées. Cas de la rotation. - Principe variationnel. Action. Principe de moindre action de Maupertuis. - Equations d’Hamilton-Jacobi.

Discrétisation  Discrétisation des équations aux dérivées partielles : méthode des différences finis. Consistance, ordre, convergence. Exemple sur l ‘équation de Laplace, l’équation de la chaleur, l’équation de transport. Discrétisation des EDP elliptiques par la méthode des éléments finis : éléments finis P1, P2, Q1. Introduction à la discrétisation de problèmes non linéaires.

Analyse des données I  Rappels de géométrie. Représentation des données et liaison entre variables. Analyse en composantes principales (ACP). Analyse factorielle discriminante.(AFD). Utilisation de SAS : procédures (analyse statistique de base, représentations graphiques, estimations, tests, analyse de variance, analyse de régression) et pratique d’ACP.

Semestre 2
Analyse fonctionnelle 2 (obligatoire) Opérateurs linéaires : spectre, opérateurs dans les espaces de Hilbert, adjoint, opérateurs compacts.

Modélisation, Maple, Matlab (obligatoire) Exemples de formulation d’un modèle mathématique d’un problème d’ingénierie : lois de conservation, modèles cinétiques, finance. Etude mathématique des modèles. Simulation numérique sur ordinateur (Matlab, Scilab, Maple).

Géométrie et Topologie 2 (obligatoire) Représentation locale des sous-variétés de Rn. Points critiques : Théorème de Sard. Champs de vecteurs, existence et propriétés du flot. Formes différentielles sur un ouvert de Rn, formule de Stokes. Théorème de Frobenius.

Algèbre et géométrie II (obligatoire) Anneaux principaux. Modules sur les anneaux principaux. Étude des groupes classiques :groupes linéaires GL(n, R), GL(n C). Décompositions (polaires, Bruhat, Cartan, Iwasawa). Propriétés topologiques. Etude de leurs sous-groupes (orthogonaux, unitaires, symplectiques) et des géométries associées.

Calcul différentiel et Optimisation Rappels de calcul différentiel. Condition nécessaire, conditions suffisantes d’extremum local. Théorème des multiplicateurs de Lagrange, équation d’Euler-Lagrange. Etude complète de problèmes d’optimisation en dimension finie. Eléments d’optimisation en dimension infinie.

Distributions et Equations aux dérivées partielles Principaux espaces de fonctions et topologie associée. Les espaces E, D et S, convergence dans ces espaces. Les distributions, distributions tempérées, à support compact, convergence dans E’, S’, D’. Support et ordre d’une distribution. Opérations sur les distributions : dérivation, convolution, transformée de Fourier. Application aux E.D.O. et E.D.P. linéaires à coefficients constants. Filtre, réponse impulsionnelle. Méthode de séparation des variables : cas élémentaires, équations de la chaleur et équation des ondes. Méthodes variationnelles pour les problèmes aux limites. L’espace H1, théorème de trace. Espace de Sobolev. Equations elliptiques, paraboliques et hyperboliques.

Analyse des données II Analyse des correspondances (AFC), Analyse des correspondances multiples. Méthodes des classifications. Utilisation du logiciel SAS.

Anglais

Informatique  Introduction aux notions de problème, d’algorithme et à la calculabilité.  Étude du paradigme “diviser pour régner” et de la programmation dynamique. Application en recherche operationnelle.  Introduction au langage C, à la représentation des données (entiers, flottants) et aux structures de données complexes. Introduction à l’algorithmique sur les graphes.

TER (obligatoire) Le TER est un projet ou un stage (d’une durée de 2 mois) dont l’objet est la découverte ou l’approfondissement de concepts mathématiques, ou la réalisation d’une modélisation d’un problème d’ingénierie et sa résolution effective sur ordinateur. Même lorsque le TER n’est pas un stage, il peut être réalisé en collaboration avec des grandes entreprises publiques ou privées régionales ou nationales, ou des collectivités territoriales. L’objectif du TER est la mise en oeuvre des compétences acquises au cours du cursus à des fins pratiques. Il comporte 3 parties : un travail personnel encadré par un enseignant et/ou un professionnel, la réalisation d’un rapport substantiel et une soutenance devant un jury.

Deuxième année du Master Recherche : cohabilitée avec l’Université Joseph Fourier de Grenoble

Les cours, y compris ceux donnés par les enseignants chercheurs de l’Université de Savoie, se déroulent à Grenoble de fin septembre à début mars. Le stage de recherche peut se faire au sein du Laboratoire de Mathémaiques de l’Université de Savoie (LAMA) ou dans un autre laboratoire de recherche.

Mathématiques Fondamentales
La spécialité Recherche en Mathématiques Fondamentales a pour objectif de former les étudiants à la recherche dans les domaines de l’analyse et EDP ou arithmétique et géométrie.

Mathématiques Appliquées
La spécialité Recherche en Mathématiques Appliquées a pour objectif de former les étudiants à la recherche dans un ou plusieurs des domaines suivants des mathématiques appliquées : analyse numérique des équations aux dérivées partielles, systèmes dynamiques, calcul formel, probabilités, statistique, géométrie des surfaces  et visualisation, approximation.

Pour tout renseignement contacter Dorin BUCUR - LAMA- Université de Savoie, Campus scientifique tél. +33 (0)479-75-86-29 Mail: dorin.bucur@univ-savoie.fr